그래서 오른쪽 그림과 같은 예를 생각합니다. 이 경우 유효한 칩 (노란색)는 불과 1 개뿐입니다. 그러나 약간만 웨이퍼를 이동하면 유효 칩의 수는 2 개로 늘어납니다. 또한 좌우로 이동하면 유효 칩의 수는 3 개입니다. 웨이퍼 중심을 칩 격자 점에 거듭하면 유효 칩의 수는 4 개입니다.
즉, 하나의 칩은 유효 칩 개수가 다른 여러 영역으로 나눌 수 있습니다. 그런데, 유효 칩의 수를 증감 할 때, 도대체 무엇이 일어나고있는 것일까 요? 거기에서는 웨이퍼 테두리와 칩 격자 점이 교제합니다. 유효 칩 수가 증가하면 웨이퍼 테두리와 어우러진 칩 격자 점이 웨이퍼 내부로 이동합니다. 반대로, 유효 칩의 수가 줄어들 때에는 그 칩 격자 점이 웨이퍼 테두리 밖으로 이동합니다.
그런데 하나의 칩 격자 점이 웨이퍼 경계 선상에있는 상태에서 웨이퍼를 평행 이동시켜 보자. 그러면 다른 칩 격자 점도 웨이퍼 경계와 교차하는 상태가 방문합니다. 웨이퍼 경계의 외측에 있던 격자 점이 교차 한 후 웨이퍼 테두리 안쪽에 들어가면 유효 칩 수가 증가합니다. 그 반대이면 감소하게됩니다.
여기에서 중요한 것은 두 칩 격자 점이 웨이퍼 경계에있을 때 유효한 칩 수가 증감 경계에있는 것입니다. 즉, 2 개의 칩 격자 점이 웨이퍼 경계 선상에있는 조건을 이용하면, 후보 해석을 유한 할 수있는 것입니다.

그런데, 2 개의 칩 격자 점이 웨이퍼 경계와 교차 할 때, 웨이퍼 중심의 위치를 표시합시다. 그러면 오른쪽 그림과 13 개의 붉은 점입니다. 이 13 개의 점 웨이퍼 중심을두고 유효 칩 개수를 세어 보아요. 유효 칩의 최대 값과 그것을 실현하는 하나의 솔루션을 얻을 수 있습니다. 그러나 최적의 솔루션을 제공하지는 않습니다. 오른쪽 그림에서 색으로 구분 된 여러 영역은 유효 칩 개수가 동일한 영역을 의미합니다. 그리고 그 안에 그려진 숫자는 유효 칩 수를 보여줍니다. 즉, 유효 칩 수가 4 개 영역의 중심이 웨이퍼 배치의 최적의 솔루션입니다. 그림은 4 곳으로 나뉘어있는 것처럼 생각합니다. 그러나 연속 도형의 일부임을 감안할 때, 최적의 솔루션은 칩의 모서리 인 것은 분명하다. 그러나 칩의 모서리는 13 개의 빨간 점에 포함되지 않습니다.
그런데 오른쪽 그림과 같은 유효 칩 개수마다의 영역도를 그리려면 어떻게해야할까요. 이 설명은 꽤 복잡합니다. 또한, 특허와 논문과 동일하기 때문에, 여기에서 그만 둡니다. 그러나 결론 만 씁시다. 웨이퍼 중심을 칩 격자 점에 거듭합니다. 다음으로, 웨이퍼 테두리가 통과하는 칩을 잘라냅니다. 그리고 그들 모두를 거듭 투시하는 것입니다. 그러면 오른쪽 그림과 같은 유효 칩 개수 별 분포도 수 있습니다.

종횡비 최적화는 웨이퍼 배치의 2 자유와 칩 종횡비 1 자유도를 더한 3 자유도의 최적화 문제입니다. 제시하고자 최적화 정보는 칩 종횡비에 대응하는 배치 최적화시 최대 유효 칩 수 있습니다. 그래프로 표시하는 경우, 가로축이 칩 종횡비, 세로축이 배치 최적화시의 유효 칩 개수입니다.
그래프는 선 그래프입니다. 종횡비가 변화하면 특정 비율로 사용 칩 수가 계단 모양으로 변화합니다. 오른쪽 그림은 그 예입니다. 이 그림에서 알 수 있듯이, 최대 유효 칩 수가 변화하는 비율과 거기에서 유효 칩 개수를 알면 충분하다. 그리고 종횡비 최적화에 필요한 후보 솔루션의 유한를 할 수 있습니다.

종횡비 최적화는 끝 종횡비뿐만 아니라 웨이퍼 위치의 x 및 y 좌표도 조정할 수 있습니다. 그 조건에서 종횡비 변화에 유효한 칩 수가 증감하는 현상을 생각합니다. 웨이퍼 중심 위치를 조정해도 종횡비를 대소 중 하나에 변화 시키면 유효 칩 수가 다를 수 있습니다.
이런 경우 여러 칩 격자 점이 웨이퍼 경계 엔에 있어야합니다. 그럼 도대체 몇개의 칩 격자 점이 웨이퍼 경계 엔에있는 것입니까? 2 개까지라면 칩 종횡비를 변화 시켜도 웨이퍼 경계 원형에 접촉 한 상태를 유지할 수 있습니다. 3 개라도 그 3 점으로 만드는 삼각형 안의 웨이퍼 중심이 들어가 있지 않으면 괜찮을 것입니다. 그러나 이것이 한계입니다. 칩 격자 점의 적어도 3 점이 웨이퍼 테두리와 어우러져 그 교점을 맺은 다각형의 내부에 웨이퍼 중심이 포함되어있을 때, 종횡비 변화에 유효 칩 수가 증감합니다. 예를 들어, 오른쪽 그림과 같은 경우입니다.

칩 종횡비 최적화의 후보 솔루션의 유한 화는이 조건을 충족 웨이퍼 중심 위치와 비율을 구하는 것입니다. 배치 최적화는 웨이퍼 테두리에 2 개의 칩 격자 점이 접하는 경우를 찾았습니다. 그러나 이번에는 해법 알고리즘을 생각해 없습니다.
그래서 칩 격자를 변화시키지 해결 방법을 생각했습니다. 칩 격자를 변화시키지 않는 대신 웨이퍼 경계 원형의 비율을 변화시키는 것입니다. 즉, 웨이퍼 경계 원형을 타원형으로하는 것입니다. 그리고이를 평행 이동시켜, 미리 뽑아 놓은 3 점의 격자 점과 접하게됩니다. 수식에서는 타원의 장축과 단축의 비율과 타원 중심의 2 차원 좌표를 미지수로 한 연립 이차 방정식을 풉니 다. 사실, 웨이퍼를 자유롭게 변형 할 수는 없습니다. 그러나 문제 등가 인 수식 표현으로 변환하여 풀고 다음 역변환하여 올바른 답을합니다.